求极限的方法：
1.普通求极限
我们知道求极限的考点往往都是考分子分母型的，因为这样可以有效利用等价/高阶/低阶无穷小的理论，即使求极限是加减乘的类型，我们也尽可能要转化为除法的类型（这就是七种未定式），然而，知道这些还不够，因为考研是一项选拔性考试，不是水平考核性质的考试，学会将应对水平考试的态度和习惯转化为应对选拔性考试十分重要，在此基础上，要清楚的认识到，高数教科书上的题只是最基本的，要应付考研，需要有更深入的思维。在求极限方面也是一样（所以最基本的洛必达法则一般用不上）。
例题一、
面对这道题，用等价/高阶/低阶无穷小显得不能用（因为是趋近于无穷），但是，我们就要比谁更大，即寻找最大项（张帆老师把这个叫“大哥理论”），然后使用无穷大替换（即用最大项替换全部），在 的时候，分子分母的最大项是幂次最高项，在 的时候分子分母的最大项是幂次最低项，所以对这道题来说，我们应该寻找幂次最高项，对分子来说， 和 是同一幂次的，所以，最大幂次是1，所以我们就把边上那个1和根式里面的 忽略掉就行了，对于分母来说，最大幂次也是1，至于 的幂次，因为 始终是小于等于一的，所以可以把他的幂次当作是常数，也就是0，可以忽略掉，这样一来公式就变成了
由于 是趋向于负无穷的，所以原式等价于 也就是1。
例题二、
基本操作， 里的东西减去个1然后等价无穷小替换.
变成了
我们知道，等价/高阶/低阶无穷小替换的本质其实是转化为幂函数的形态，所以为了在0处能够把sinx和cosx转化为幂函数，在加减法的环境下应用等价无穷小，就要用到麦克劳林公式（平时老师说不能在加减法情况下应用等价无穷小是因为精度不够，应用了麦克劳林公式就能确保精度，那么到底要展开到哪几项呢？因为分子分母的最大项精度要保持一致才能互相消去，比如这道题就要分母上下可以同时展开到 的一次幂就能互相消去。），其中 的展开是 而 的展开是 ，所以 保留最大项目 ， 保留1，而分子中的 也可以展开为 （这里用到了一个展开公式 ( 当然你直接用麦克劳林也行，只不过用公式会更快一点）,由于分母最大项是1次幂，所以保留 即可这样原式就变成了
例题三、
这道题需要用到一个小技巧，即 ,则分母变为 , 在 的时候接近于e，由于非零因式直接带入原则所以可以去掉，剩下来的用以上两个例题的技巧可以轻松解决（事实上，类似 这样的式子有一个特点，那就是 型，这一类型的极限一般是提取一个公共因子使得成为 类型）。
例题四、
由于是 所以可以用泰勒公式展开得到:
例题五、
这里要注意 的时候分为 和 两类， 的时候，先等价无穷小替换，得到 以及 原式变成
而 的时候原式变成了 这个时候要求趋向于无穷的时候，虽然幂函数不适用于这种情况，但幂函数找最大项的本质是无穷大替换，所以我们可以用到速度的阶的理论，在x趋向于无穷或者0的时候，指数函数>>幂函数>>对数函数，这个式子里ln里的1完全可以被替换掉，因此原式就变成了
同理，以下极限也可以应用这个理论,用一个因式替换全部：
例题六、
遇到有 的式子，可以先想办法合并
例题七、
第一步先通分化为乘除法得到
此时，分母无穷小替换得
此时，我们可以想到，分子的最大项为次数最小的项，通过对分子进行麦克劳林展开可以发现， 次数最小的项不是 就是 ,当然由于 被消掉了，因此展开得到分子：
注意，这里有些同学可能觉得分子化到 就够了，没必要化到 项，事实上，因为分母的最小项是 ,所以分子务必也要化到 来确保精度。
例题八、
遇到 的时候要首先想到平方差公式来化简，如在这道题使用平方差公式化简后变成
例题九、化幂指函数为对数
这一类的题比较特殊，比如下面这道题会有同学将两个重要极限之一 带入求得答案1，事实上，这个答案是错误的，正确的答案是1
设函数 在 的某领域内有定义，且 ,求
用同样方法化为对数做。
例题十、
某些函数等价无穷小也比较难替换，可以用拉格朗日中值定理来等价无穷小替换
数列极限：
从而
例题十、综合应用
这一类较为繁琐，可能同时用到变限积分、泰勒、等价无穷小、洛必达，一般做题的顺序是先等价无穷小、再泰勒、最后用洛必达，中间化简的过程中遇到极限为常数的因子直接带常数。
首先令 化简变限积分得到 提出 得到
使用等价无穷小替换 并使用常数替换极限为常数的因子 得到
使用泰勒公式得到
最后使用洛必达法则
下面附上一些常用泰勒展开和等价无穷小，考试的时候务必要记住:
其中 ①式减②式可以得到
1减③式可以得到
④式减1可以得到
⑤式减1，可以得到
还有一些要记住
2.变限积分求极限
一句话，变限积分求极限，一般用洛必达法则,既然应用了洛必达法则，那么变限积分的求导一定又是过不去的一道坎。这个我打算放到求导那章整理。
此外，某些变限积分的极限化简可以用泰勒公式来简化.
例1
这道题常规做法是用洛必达化为
实际上用泰勒展开也可以做
例2
原式
例3
这道题分母为1，不能用洛必达，又是趋于无穷不能用泰勒，只能用夹逼准则了。
当 时 趋于0且单调递减
故当 时有
由于 可以被当作常数
故
由于上式左右两端在 时候的极限都为0
故由夹逼准则
3.数列求极限
数列求极限的方法主要用到了夹逼准则、单调有界准则、化为定积分求解
例题1：
证明:(1)
(2)设 ,则数列极限存在
解：
（1）遇到有根式的分母，首先想到的是分子分母有理化，不等式左右两侧分母无法进一步有理化，只能分式中间开始有理化,同时乘以 ，使用平方差公式得到：
变形得到：
上式很容易看出成立。
（2）数列极限，要用到单调有界准则，至于怎么用，第一问给了提示。首先判断数列的单调性，让
故数列单调递减，这样只要证明数列大于某个数就行了，由第一问的结果可以将数列放缩为：
故 有界，则 有极限。
例题2：
设数列 满足： ,证明 收敛，并求
解：可以用拉格朗日证明数列的单调性
由于 单调，故 单调递减
由于 的具体公式没有给出，而仅仅只给出了 ,所以采用数学归纳法。
当 时，
假设 时
当 时
则
故对所有 都有
由于 单调有界，故有极限。
这个时候，不妨设极限为一个常数
设
则
故由
得到
求得 ,故极限为0。
例题3：
求极限
这个要用到夹逼准则，而这种无穷数列恰好又能化为定积分。
变形
转化为积分
从而得到极限为 即
例题4：
这题一开始想到夹逼准则，但是实际上不太行，正确思路是化为定积分
原式=
例题5：
当 时，
求极限
我们知道，取对数可以解决的问题有两种，一种是 的时候可以取对数，还有一种则是本例，把乘除化为加减
由于
故由夹逼准则得原式=
方法一：等价无穷小的转化 在乘除中使用
方法二：极限的四则运算法则
方法三：洛必达法则
方法四：泰勒公式
方法五：两多项式相除
6：无穷小与有界函数的处理方法
7：数列极限中等比等差数列公式的应用
8：数列极限中各项的拆分相加
9：利用Xn 与Xn+1极限相同求极限
10：夹逼准则
11：两个重要极限的应用
12：当趋于无穷大时，不同函数趋于无穷的速度是不一样的。
13：换元法
14：利用定积分求极限
15：重要的高阶无穷小